OPERASI ALJABAR PADA MATRIKS

OPERASI ALJABAR PADA MATRIKS

Pengenalan Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan bilangan (disebut elemen atau unsur) yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang.
Bentuk umum matriks :



Matriks A berukuran (berordo) i x j yang mempunyai arti bahwa matriks A memiliki i baris dan j kolom.
Beberapa contoh elemen (unsur) matriks A adalah :
a 1 . 2 = adalah elemen matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-2
a 3 . 3 = adalah elemen matriks A pada baris ke-3 dan kolom ke-3
a i . j = adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

Penjumlahan Dua Matriks

Syarat Penjumlahan

Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila ukuran (ordo) kedua matriks tersebut sama.
Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan setiap elemen seletak pada kedua matriks tersebut.
Matriks hasil penjumlahan akan sama dengan matriks yang dijumlahkan.

Contoh
Diketahui matriks-matriks :

Manakah diantara operasi-operasi penjumlahan dua matriks berikut yang dapat dilakukan :
a. A + B  Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks B adalah 3x2
b. A + C  Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2
c. B + D  Dapat dilakukan, karena ordo matriks B sama dengan ordo matriks D, yaitu 3x2
d. C + D  Tidak dapat dilakukan, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2
e. A + E  Dapat dilakukan, karena ordo matriks A sama dengan ordo matriks E, yaitu 2x3


A. Sifat Komutatif

Contoh
Diketahui matriks-matriks: A =  dan B =

Tentukan hasil penjumlahan antara dua matriks berikut :
a. A + B
b. B + A

Jawab


a. Ordo matriks A dan ordo matriks B sama, yaitu 2x3, maka :

b. Ordo matriks B dan ordo matriks A sama, yaitu 2x3, maka :








Nampak bahwa A + B = B + A =  , berarti pada operasi penjumlahan matriks berlaku sifat komutatif.

B. Sifat Assosiatif

Contoh
Diketahui matriks-matriks:
 A =  
B =    

dan
C =    


Tentukan hasil penjumlahan antara tiga matriks berikut :
a. [A + B] + C
b. A + [B + C]

Jawab

a. Ordo matriks A, B, dan C sama, yaitu 2x3, maka :

b. Ordo matriks A, B, dan C sama, yaitu 2x3, maka :

Nampak bahwa [A + B] + C = A + [B + C] =  , berarti pada operasi penjumlahan matriks berlaku sifat assosiatif.

 C. Sifat Unsur Identitas

Contoh
Diketahui matriks-matriks: A =  dan  O =  

Tentukan hasil penjumlahan antara dua matriks berikut :
a. A + O
b. O + A

Jawab

a. Ordo matriks A dan ordo matriks O sama, yaitu 2x2, maka :



b. Ordo matriks O dan ordo matriks A sama, yaitu 2x2, maka :

 

Nampak dari A + O = O + A = A, berarti pada operasi penjumlahan matriks terdapat unsur identitas.


D. Sifat Invers Jumlah

Contoh
Diketahui matriks-matriks: A =  dan  B = 

Tentukan hasil penjumlahan antara dua matriks berikut :
a. A + B
b. B + A

Jawab

a. Ordo matriks A dan ordo matriks B sama, yaitu 2x2, maka :

b. Ordo matriks B dan ordo matriks A sama, yaitu 2x2, maka :



Nampak dari A + B = B + A = O, berarti pada operasi penjumlahan matriks terdapat invers penjumlahan.
Dalam hal ini, matriks A dan matriks B saling berlawanan (invers) satu sama lain.

2. Pengurangan Dua Matriks

Syarat Pengurangan

Sebuah matriks dapat dikurangkan oleh matriks lain yang ordonya sama.
Pengurangan antara dua matriks dapat dilakukan dengan mengurangkan setiap elemen seletak pada kedua matriks tersebut.
Ordo Matriks hasil pengurangan akan sama dengan ordo matriks yang dioperasikan.

Contoh 1
Diketahui matriks-matriks :


Manakah diantara operasi-operasi pengurangan matriks berikut yang dapat dilakukan :

A – B  Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks B adalah 3x2
A – C  Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2
B – D  Dapat dilakukan, karena ordo matriks B sama dengan ordo matriks D, yaitu 3x2
C – D  Tidak dapat dilakukan, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2
A – E  Dapat dilakukan, karena ordo matriks A sama dengan ordo matriks E, yaitu 2x3

Contoh 2
Diketahui matriks-matriks: A =   dan B =

Tentukan hasil pengurangan antara dua matriks berikut :
a. A – B
b. B – A

Jawab

a. Ordo matriks A dan ordo matriks B sama, yaitu 2x3, maka :


b. Ordo matriks B dan ordo matriks A sama, yaitu 2x3, maka :

Nampak bahwa A – B ≠ B – A, berarti pada operasi pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif.

3. Perkalian Matriks

A. Perkalian Skalar dengan Matriks

Perkalian skalar (bilangan real) k dengan matriks A adalah kA.
Hasil perkalian diperoleh setelah setiap elemen pada matriks A dikalikan dengan k dan hasilnya berupa matriks baru dengan elemen-elemennya merupakan hasil kelipatan dengan skalar k dan ordonya sama dengan ordo matriks A.

Contoh 1
Tentukan hasil kali matriks A =  dengan skalar k.

Jawab

 

Nampak bahwa matriks kA mempunyai ordo sama dengan matriks A dan elemen-elemennya merupakan k kali elemen-elemen matriks A.

Contoh 2
Jika matriks A =   , tentukan matriks :
a. 3A
b.  1/2 A

Jawab

a. 3A  = 3. = 

b. 1/2A =  1/2= 

Contoh 3
Jika matriks A = , p = 2, dan q = 3, tentukan :
a. (p + q).A
b. p.A + q.A

Jawab
a. p + q = 2 + 3 = 5, maka (p+q).A = 5.A =

b. p.A + q.A = 2.A + 3.A =
+ = 

Nampak bahwa (p + q).A = pA + qA

Contoh 4
Jika matriks A = , B = , dan p = 2 tentukan :
a. p (A + B)
b. pA + pB

Jawab

a. p (A + B) =
2. [+ ] = 

b. pA + pB = 2.A + 2.B = 2. + 2. 

                                     = 

                                     =

Nampak bahwa p.(A + B) = pA + pB

Contoh 5

Jika matriks A = , p = 2, dan q = 3 tentukan :
a. p(qA)
b. (pq)A

Jawab
a. p(qA) = 2.(3A)= == 

b. (pq)A = (2.3)A = 6A = 6.= 

Nampak bahwa p.(qA) = (pq)A

Contoh 6

Jika matriks A =, B =, p = 2 tentukan :
a. p (A + B)
b. pA + pB

Jawab
a. p (A + B) =
2.+= 

b. pA + pB = 2.A + 2.B = 2.+ 2.

                                     =

                                     =

Nampak bahwa p.(A + B) = pA + pB


Syarat Perkalian Dua Matriks

Jika matriks Am x n dan matriks Bp x q dikalikan, maka :
• Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p
• Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q
• Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai

Contoh 1
Diketahui matriks-matriks :


Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan :
a. A x B  Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks Asama dengan baris matriks B
b. A x C  Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks Atidak sama dengan baris matriks C
c. B x C  Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C
d. C x D  Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2, kolom matriks Ctidak sama dengan baris matriks D

Contoh 2
Diketahui matriks-matriks: A = dan B =
Tentukan dari perkalian matriks A x B
Jawab
 
Contoh 3
Diketahui matriks-matriks :
A = dan B =
Tentukan hasil dari perkalian matriks A x B
Jawab
A x B =x=
          =  |  ( 3.5 ) + ( -2. -1)         (3.1) + ( -2. 2 ) |   =   | 15+2    3-4     |   =   |  17   -1  |
          =  |  ( 4.5 ) + ( 5. -1 )         (4.1) +  ( 5.2 )   |        | 20-5    4+10   |   =   |  15   14 |

Contoh 4
Diketahui matriks-matriks :
A =
Tentukan:
a. A2
b. A3
Jawab
a. A2 = A x A                        
              

b. A3 = A x A x A